Poate v-ati lovit vreodata de problema impartirii unui cerc intr-un anumit numar de parti egale.
Metode specifice exista, dar ele trateaza doar cateva cazuri (impartire in 4,5,6)

Prezint aici o metoda ce permite impartirea unui cerc in oricate parti egale.
Pe calculator, aceasta operatiune este foarte simpla, e clar.
Insa in cazul in care vreti sa decupati (sa zicem din tabla) un poligon regulat, problema e destul de serioasa.

Daca e vorba de un cerc existent, a carui centru nu este dat, reamintesc ca
centrul cercului circumscris este la intersectia mediatoarelor laturilor unui triunghi.

Metoda este una grafica. Nu necesita calcule, doar rigla si compas.
Pentru exemplificare am construit un poligon regulat cu 7 laturi.
Mentionez ca metoda este valabila pentru orice numar natural.
__________________________

1. Se ia in compas diametrul cercului.
2. Cu varful compasului la A si B, se cunstruiesc punctele C si D.
3. Se imparte diametrul cercului in 7 parti egale.
_____Pentru aceasta, am tras o linie (DR2) de 14 cm. (fiind multiplu de 7)
_____Din 2 in 2 centimetri am marcat punctele 1,2,...7.
_____Am unit punctul 7 cu punctul B.
_____Prin trasarea unor linii paralele cu 7B, am impartit diametrul cercului in 7.
_____Am obtinut deci punctele 10, 20, ... 60, si evident 70=B.
4. Din punctul C trag o linie catre punctul 10, pe care o prelungesc pana la intersectia ei cu arcul de cerc mai indepartat, obtinand punctul C1.
5. Se procedeaza identic cu toate punctele 20,30, ... 60, si se vor obtine punctele C2, C3,...C6.
6. Din punctul D trag o linie catre punctul 10, pe care o prelungesc pana la intersectia ei cu arcul de cerc mai indepartat, obtinand punctul D1.
7. Se procedeaza identic cu toate punctele 20,30, ... 60, si se vor obtine punctele D2, D3,...D6.

Prin aceasta metoda, cercul se imparte intr-un numar dublu (fata de cel prevazut) de parti egale. Prin urmare, punctele rezultate se vor uni din 2 in 2.
Eventual, pentru o impartire intr-un numar par de parti egale, se poate avea in vedere aceasta ipoteza, si se vor construi doar jumate din numarul punctelor.

Dar dovada? Vrem dovada!
Adica degeaba ne-ai prezentat metoda daca nu ne si demonstrezi ca intr-adevar, cercul se imparte intr-un numar de parti egale.

LE: Pentru informatia ta, metoda asta este aproximativa si deci nu are nici o valoare din punct de vedere geometric, dar poate fi folosita tehnic.
Problemele de constructii geometrice presupun metode matematic "exacte".

neinteresant... se ia un autocad si se arunca cu array...

Da, metoda este aproximativa.
Nu are pretentii de precizie matematica, dar daca vei verifica in AutoCAD, vei constata ca eroarea nu e mare.

Pe romaneste: este stisfacatoare pentru anumite situatii.
Cand ai nevoie de asa un poligon de 5 metri, si nu mai conteaza o eroare de 2-3 cm, se poate folosi destul de eficient.

P.S. Daca se considera inutila informatia, rog un moderator sa stearga topicul.

Nu e vorba de asta, nu te supara pe mine... E ca in bancul ala cu ginecologul ce s-a transformat in mecanic si a segmentat motorul prin teava de esapament. De ce sa ma complic daca se poate mai simplu?
Sau sa merg din Bucuresti la Ploiesti prin Arad?

PS: Eu unul apreciez munca ta dar la ce iti foloseste?

alx, nu m-am suparat, stai linistit.
Stiu ca "divide" rezolva mult mai simplu si mai exact problema.

Incercam doar sa le fiu de ajutor celor care trebuie sa traseze asa ceva,
la o dimensiune MARE.
Nu ai cum sa tiparesti asa un format, si oricum nu conteaza o eroare minora.

Ba e interesant si bine de stiut. De ce?
1 nu ai autoCadul la dispozitie totdeauna.
2 nu toti stiu sa foloseasca acadul

Eu folosesc un raportor si impart 360 de grade la numarul de laturi. Restul e istorie.

Si sigur 100% nu le imparti exact cum trebuie(cu toata istoria de care zici tu), o sa ai cu eroare...

Eu am invatat in clasa a 10-a la desen tehnic cum sa imparti un cerc in 3,4,5,6,7,8,9,10 si 11 parti egale.
Daca vreti dau scanare+postare la desene, le mai am si acum

Nu e vorba numai de asta: pentru dimensiuni mari (asa, incepind de pe la 2m) metodele cu rigla si compasul ramin valabile. Chiar daca rigla e o sfoara (mai nou: laser) iar compasul e un fir cu un tarus la un capat.

Divizarea nu este exacta.

Asta-i reclama la Autodesk.
Constructiile geometrice au frumusetea, farmecul si istoria lor. Valoarea lor este de probleme matematice, nu de solutii tehnice.
Chiar daca o constructie geometrica este "exacta", apar erori la folosirea riglei si a compasului, care pot fi destul de mari daca constructia este mai complicata.

@os: Dar ce te impiedica sa rezolvi problema pe hartie (sau pe computator) si in teren sa vii direct cu rezultatul la mm. De exemplu daca vreau sa impart un cerc de 100m la 17, calculez pe hartie (folosind trigonometria si un calculator de buzunar) lungimea laturii. Daca am si un laptop cu un cad de orice fel si mai bine.

Asa... si dupa aceea in teren: cum le transpui in tarusi? Nu cu rigla (sfoara)? Si daca ai de trasat un unghi- masori cu raportorul.. si?

In mod normal asemenea trasari se executa cu teodolitul ("raportor"), cu sfoara ("rigla"-da, nu ride) si cu ruleta (pe post de "compas"). Daca vrei precizie mai buna, atunci numai cu teodolitul. Dar eu n-am teodolit acasa; sfori si tarusi insa, am. La fel, am si ruleta - cam scurta, dar pot sa fac rost usor de una mai lunga daca e cazul.

Sa presupunem ca ai trasat cercul (cu sfoara si tarus). Iei un punct pe el (bati un tarus) si stiind din calculul trigonometric (pe hartie) lungimea laturii la precizie de mm, construiesti cu ruleta al doilea punct. Mi se pare mai simplu decat o constructie geometrica unde un punct auxiliar (C sau D in cazul nostru) poate sa pice intr-o balta, sau in bucataria vecinului.

Exact - ai perfecta dreptate.

Daca insa cazi in bucataria vecinului, cu atit mai bine: poate iei si masa in compania vecinei.

Tare sunt curios cati stiti cum se traseaza o elipsa. Fara sa o duci punct cu punct.
Eu zic ca eroarea la raportor si rigla e mai mica decat la cele 15 (sau cate or fi)masuratori facute pentru constructia aia geometrica.
Dar pe mine unul chiar nu ma intereseaza geodezia sufient de mult cat sa am asemena probleme.

(command "ellipse")

Cum locul geometric al unei elipse este:
"suma distantelor la centre = constant"
Bati doua cuie de care legi o sfoara.
Trasezi elipsa pe interiorul sforii.
(sfoara sa fie intinsa tot timpul - evident)

Daca le zicem focare e corecta metoda.

Uite, daca tot vad oameni pasionati de AutoCAD, va dau o problema de 3D:

Intr-un tetraedru cu muchie de 1 unitate construiti 4 sfere identice, astfel incat diametrul lor sa fie maxim. (deci sferele tangente intre ele, si tangente din interior la feþele tetraedrului).

Ma intereseaza raza sferei.

Doamne, Maica Domnului... Voi chiar vorbiti serios.

yap...sper ca va urma un topic: furtun de nivel versus statie totala!

pardon, sqrt(1/12)

Ba baieti, daca tot v-ati pus cu smecherii d-astea si chiar vorbiti serios, luati la taica rezolvarea: R= L/2 x (1+ctg30), unde L= latura tetraedrului si R raza sferei
LA revedere pa!

Marty, Walleye: Mai calculati ...

L.E.
Rezolvarea:

ficior, desenul tau ii gresit, sferele alea tre sa fie tangente si la fete ceea ce din AA' nu prea reiese.

ii radical din unu pe doispe adica aproximativ 0.288

pardon, iar gresii, acu am priceput sectiunea, ii rasturnata fata de cum o vedeam eu iar 0.288 e 0.144 x 2 si verificind calculele am gasit si 1/2-ul pe care l-am mincat.

Deci e bun desenul? Iti garantez eu ca da.

Precum vezi, eu n-am facut calcule.
Am construit totul 3D si am masurat raza respectiva.

Am calculat 1/2*sqr12, si (desi seamana primele zecimale),
rezultatul tau pare ca nu e totusi unul corect.

ia mareste tu numarul de iteratii la criteriul de convergenta pentru solutia aia de-o da autocad si sa vezi ca da bine.

Raspuns corect: (sqrt(6)-1)/10.
Calculat pe hartie, geometric.
Cu un program CAD poate orice fraier.

Ma doare capul pentru ca geometria a fost punctul meu slab ...... si de aia ma doare capul .....Io va cred pe cuvant da sa-mi spuneti si mie care este rezolvarea finala ....

am refacut a tzspea oara calculele folosind pitagora si geometria de a sasea in loc de trigonometrie si b64chr are dreptate. ce sa zic, se pare ca nu mai stiu trigonometrie dar n-am nervi sa vad unde am gresit. pervers totusi sa-mi dea aproape la fel.

Pai s-o luam usor.
Mai intai stabilim relatia dintre latura unui tetraedru regulat L si raza sferei inscrise R:
R=(sqrt(6)/12)*L. Asta o notam (1) ca o folosim de mai multe ori..
Notam T1 tetraedrul din problema, de latura L1 si R1 raza celor 4 sfere din problema.
Consideram T2 tetraedrul regulat care are ca varfuri centrele celor 4 sfere.
Notam L2 latura lui T2 si R2 raza sferei inscrise in T2. Avem:
L2=2*R1 (sferele sunt tangente, deci distanta dintre centre este dublul razei)
R2=(sqrt(6)/12)*L2 cf. (1) deci:
R2=2*(sqrt(6)/12)*R1
Notam R3 raza sferei inscrise in T1.
R3=R2+R1 (distanta dintre fetele lui T1 si ale lui T2 este R1). Deci:
R3=(2*(sqrt(6)/12)+1)*R1
Aplicand (1) in tetraedrul T1 avem:
R3=(sqrt(6)/12)*L1. Deci:
L1=(2*(sqrt(6)/12)+1)/(sqrt(6)/12)*R1 sau simplificand:
L1=2*(1+sqrt(6))*R1
Considerand acum L1=1 (din ipoteza) si facand un calcul simplu avem:
R1=1/(2*(1+sqrt(6))) sau, amplificand cu (sqrt(6)-1) avem:

R1=(sqrt(6)-1)/10
q.e.d.

P.S. Cred totusi ca asta e topic de cafenea nu de tutoriale. Rog un moderator sa mute topicul unde ii este locul.

Multumesc.

P.S. Te-am suparat cu ceva?
Ca ceva nu mi se leaga.

Stai linistit ca la mine s-a referit, nu la tine. Si are mare dreptate! Unde mai pui ca eu nu-s in stare sa calculez cele de acolo nici cu ajutorul CAD-ului.
Am abuzat de un amic pentru rezolvarea problemei, sa fac si eu pe desteptul. Bineinteles ca tolomacul a trebuit sa greseasca rezultatul asa ca am cazut de cal maro (nu stiu da' ma bag ).

P.S.: ma intriga faptul ca membrii MENSA nu au dat imediat raspunsul la problema in timp util.

Poate ca membrii metionati mai sus sunt interesati de probleme practice, cum ar fi masurarea conicitatii unei gauri oarbe, sau cea mai buna metoda de a aranja bile intr-un cub (pentru a obtine numarul maxim teoretic posibil).
Ce motiv ai avea sa indesi bile in saracul tetraedru nu stiu.

Marty.
... acuma si tu in gura mare ca ai abuzat de un amic.
Nu-i frumos. Si pe deasupra, e ilegal.
Mai, tu stii cat face kilu` de abuz?

interesante probleme de geometrie eucliadiana.. adica folosind doar linia negradata si compasul

stiu eu o problema dinasta supertare.. se contruieste un cub pe hartie.. matematic corect... bun.. si acuma problema este sa se construiasca un alt cub care sa aiba volumul de 2 ori mai mare ...


va spun eu.. technicaly impossible cu geometrie euclidiana.. pentru ca nu prea ai de unde obtine radical.. adica n-ai cum sa-l masori.. poti doar sa aproximezi.. si asta nu e solutie valida..

am o carticica plina de probleme dinastea cu euclid.. marfa rau.. dar sunt unele la care plesnete mintea si care par asda de cool cand urmaresti rezolvarea de la sfarsit ca desteptu de mine nu a fost nici pe aproape de metoda dupa o saptamana de chinuit neuronu..
cred ca am sa caut cartea aia din nou..

Parca se putea obtine radical din 2 cu rigla si compasul (adica un segment de 1.41... mai mare decat cel initial).
Problema interesanta am enuntat mai sus:
A se masura conicitatea unei gauri oarbe, adica putem masura diametrul bazei mari, dar nu si cel al bazei mici.
Rezolvarea implica si putina practica, dupa care geometria e simpla. E nevoie doar de un subler de adincime si inca 2 obiecte.

se poate aproxima..

metodele euclidiene de rezolvare a problemelor de genul asta sunt perfect corecte din punct de vedere matematic, adica daca excludem defectiunile tehnice (lina un pic curbata, si nu exista linie perfect dreapta, sau compas care sa isi mentina raza constata, sau alte erori tehnice si de catre utilizator) astfel cu instrumente ideale da exact ce trebuie. iar radical din 2 nu se poate obtine din nici un euclid .. se poate obtine doar din diagonala unei fete a cubului dar nu se poate inmulti cu cat trebuie pentru a obtine latura noului cub.. in care intra si radical din 3 ... care se obtine din diagonala cubului care nu poate fi luata in compas decat dupa ce dezvolti cubul in epura si faci o intreaga polologhie de geometrie descriptiva.. si tot nu se poate inmulti cu cat trebuie.. stiu ca m-am luptat cu problema asta si nu are raspuns..

latura are un dimensiune irationala

@Asi: in problema "dublarii cubului" (e vorba de volum) nu-i ca nu se poate construi grafic radical-de-ordinul-2 din 3 (asta se poate), ci ca nu se poate construi grafic radical-de-ordinul-3. Ori, pentru a dubla volumul unui cub, latura sa trebuie inmultita cu - ai ghicit - radica-de-ordinul-3 din 2. Faptul ca segmentele sunt in rapoarte irationale e irelevant; radical-de-ordinul-2 din 2 este si el irational si se poate foarte bine construi.

Dupa cite stiu, intre timp exista chiar demonstratii ca nu se poate. Printre altele, nu se poate construi grafic "Pi" (vezi problema cuadraturii cercului).

In rest ai perfecta dreptate: metodele grafice sunt precizia maxima.
In acest context - pentru cei care spun "la ce ne mai trebuie, avem ACAD": multe obiecte (in special mecanice) se fabrica folosind metodele grafice de care discutam aici (chiar daca "rigla" si "compasul" arata un pic altfel). Spre exemplu: profilul dintilor rotilor dintate se fabrica adesea printr-o metoda numita "rulare", care este in ultima instanta materializarea in otel a unor metode grafice.

Si un exemplu mult mai direct: strunjirea (obtinerea obiectelor rotunde): ce e ansamblul piesa-in-rotatie/cutit altceva decit un compas?

Imi pare rau ca am fost gresit inteles. Am vrut sa spun ca in momentul in care folosesti un program CAD deja nu mai e o "problema", e o aplicatie cel mult. Desi imi place geometria, rezolv astfel de probleme doar ca hobby. In mod normal si eu folosesc tot CAD-ul pentru ca e mult mai simplu. Doar de asta s-au inventat tractorul si calculatorul. Sa munceasca.

b24chr, totul OK. Ai dreptate, e o chestiune de hobby.
Unii au inclinatie catre matematica, altii catre constructie 3D.
Pot sa mai dau o problema?

Se roteste un cub in jurul diagonalei mari (acela cu sqr3).
Cum va arata corpul de revolutie rezultat ?

Mentionez ca problema e mai complicata decat pare la prima vedere.
Spor la desenat (sau calculat).

Ia sa vad daca mai stiu... ar trebui sa rezulte un hiperboloid cu o pinza (arata ca vestitele turnuri de racire din industrie) inchis la capete de doua conuri.

os:
Pornim de la idea ca avem doua drepte necoplanare.
Una o folosim ca axa de rotatie, cealalta o rotim in jurul ei.
Ea va descrie un hiperboloid de rotatie cu o panza.

Deci in concluzie - Raspuns corect.

L.E. partea cu conurile era banala.
Ce n-ai mentionat insa:
Inaltimea conurilor va fi cate o treime din diagonala cubului (1/3*sqr3).
Inaltimea hiperboloidului va fi tot (1/3*sqr3).
Iar diametrele la baze si la mijloc sunt evidente.

Cine cu cine se bate la revolutia aia (adica in jurul cui revolutionaza cubul ala)?
Se pare ca os s-a prins, da' mie nu-mi da nimic din ce ziceti voi.

Suprafata descrisa de o dreapta rotindu-se in jurul unei altei drepte necoplanare cu ea este in general un hiperboloid cu o pinza. Exista si cazuri particulare in care hoperboloidul devine un plan cu gaura prin care trece axa de rotatie, dar aici nu e cazul.

In problema noastra: se rotesc acele muchii ale cubului care nu se intilnesc in colturile prin care e dusa diagonala in jurul acesteia din urma. Diagonala nu e coplanara cu ele (caci altfel s-ar fi intilnit in coltul cubului, nefiind nici paralela cu vreo muchie). De aici->hiperboloid.

Pe mine m-a derutat putin formularea initiala a problemei: un cub se roteste... Cum va arata corpul de revolutie.
Asa ca m-am gandit ca sunt 2 miscari: rotirea in jurul axei si o "revolutie" in jurul nu's cui (cam ca pamantul in jurul lui - rotatie si in jurul soarelui - revolutie). De aici si intrebarea mea cu revolutia.
Acu' referitor la explicatia ta: cele 2 drepte necoplanere sunt diagonala mare si una din laturile... necoplanare cu ea? Ca daca da, m-am prins (iupii!), daca nu, pun mana pe o carte si mai studiez.

Oricum, merci de explicatii (si de rabdare).

PS Sper ca n-am debitat prea multe prostii

Edit: ce fraier sunt, exact ce am intrebat mai sus (referitor le explicatie) era deja zis.
Scuze, m-am culcat tarziu aseara (ce scuza idioata).

Da, din pacate Gauss a demonstrat mai demult ca nu se poate construi un poligon regulat cu 7 laturi cu rigla (negradata) si compasul.

De aia "metodele" specifice de care vorbeai tu mai sus trateaza doar cateva cazuri, mai exact: 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, ...

Da, dar intre timp Einstein1984 a demonstrat ca se poate, si inca foarte simplu:
El foloseste raportorul pentru a imparti 360 de grade exact la numarul de laturi, iar restul e istorie.

Uite (de exemplu) cum se pot aduna doua numere folosind o rigla:
56431+
65432
(aici iei rigla si tragi o linie orizontala)
_________
(cam asa ceva).
Pe urma ... faci adunarea.

Deci se poate.

Si nu e buna metoda mea? Gauss nu a zis nimic de raportor!!!!!!

raportorul e gradat..

daca Gauss nu poate imparti in septagon.. atunci ACad cum poate?
prin metode Euclidiene asa stiu si eu ca sunt diverse chestii care fara ceva gradat.. nu prea merge.. dar gradatia de la un raportor isi va indica precizia dupa bratul rapotorului.. sa aiba de la centru spre cradatie dimensiune cat mai mare pentru eroare minima.

raportorul, rigla gradata, teodolitul, florarul, si diverse chestii sunt mult peste rigla negradata si compasul lui euclid.

Metodele folosind doar rigla negradata si compasul teoretic sunt de precizie superioara celor care folosesc instrumente gradate.